Вписана і описана призма

             

Тема: Вписана і описана призма

Мета: Ознайомити учнів з поняттям вписаної і описаної призми, формувати вміння аналізувати, робити висновки, розвивати просторову уяву і логічне мислення.

Хід уроку

I. Актуалізація опорних знань учнів.

-          Який многокутник називається вписаним в коло?

-          Чи будь-який многокутник можна вписати в коло?

-          А трикутник?

-          Де лежить центр описаного кола навколо гострокутного?, тупокутнього,
прямокутного трикутника?

-          Чи будь-який чотирикутник можна вписати в коло?

-          Які   ви   знаєте   властивості   чотирикутника   вписаного   в   коло?   (сума
протилежних кутів дорівнює 180°).

-          Який многокутник називається описаним навколо кола?

-          Чи в будь-який многокутник можна вписати коло?

-          Яку   властивість   має   чотирикутник,   описаний   навколо   кола?   (Суми
протилежних сторін рівні).

II.  Мотивація навчання.

До тепер ми розглядали властивості простіших геометричних тіл: призм, пірамід, циліндрів, конусів, куль. Але досить часто доводиться мати справу із складнішими тілами, які є різними комбінаціями (об'єднаннями) названих тіл. З різноманітної комбінації геометричних фігур особливої уваги заслуговують вписані і описані тіла.

На сьогоднішньому і наступних уроках ми з ‘ясуємо деякі з цих понять. Повідомлення теми і мети уроку.

 III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

Комбінації призми і круглих тіл

Зображення     будуються     відповідно     до     властивостей     паралельного проектування. Побудову починають із зображення круглого тіла.

а)Комбінація  призми  та   циліндра

1.  Призма,  вписана  в  циліндр  (циліндр,  описаний навколо призми).

Призма називається вписаною в циліндр, якщо її основи - многокутники, вписані в кола основ циліндра, а бічні ребра збігаються з твірними циліндра.

-Чи в будь-яку призму можна вписати в циліндр?

-То яку призму можна вписати в циліндр?

-Що в даному випадку буде радіусом циліндра?

-З чим співпадає висота призми?

-Чи в будь-яку правильну призму можна вписати в циліндр?

А тепер сформулюємо і запам'ятаємо властивості призми, вписаної в циліндр.

Властивості

-         Призму можна вписати в циліндр, якщо вона пряма і навколо її основи можна описати коло.

-         Радіус циліндра дорівнює радіусу цього кола.

-         Вісь циліндра співпадає з висотою Н призми, що з’єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.

-         У циліндр можна вписати будь-яку правильну призму.

2. Призма, описана навколо циліндра (циліндр, вписаний в призму).

Призма називається описаною навколо циліндра, якщо її основи многокутники, описані навколо основ циліндра, а бічні грані дотикаються до бічної поверхні циліндра. АВСД, А₁В₁С₁Д₁  - многокутники, описані навколо основ циліндра, кругів (О, r) і (О, r). NN₁, MM_1, PP₁… лінії дотику бічної поверхні циліндра і бічної поверхні призми.

-         Що ви можете сказати про висоту призми? Що вона з’єднує? З чим співпадає?

-         Що ви можете сказати про призму, якщо її можна описати навколо циліндра?

-         Чи будь-яку правильну призму можна описати навколо циліндра? Чому?

Отже,

Властивості

·                   Вісь циліндра співпадає з висотою призми, що з’єднує центри кіл вписаних в основи призми.

·                   Призму можна описати навколо циліндра, якщо призма пряма і в її основу можна вписати коло.

·                   Радіус циліндра r дорівнює радіусу цього кола.

·                   Навколо циліндра можна описати будь-яку правильну призму.

б) Комбінації призми та кулі.

1. Куля, описана навколо призми ( призма вписана в кулю).

Куля називається описаною навколо призми (призма називається вписаною в кулю), якщо всі вершини призми лежать на поверхні цієї кулі.

  О -     центр кулі паралельно до бічного ребра призми

АВСД А₁В₁С₁Д₁ , ОА – радіус кулі.

            -  Де лежить центр кулі, описаної навколо призми?

            - Як зв’язані між собою радіус кулі R, висота призми Н і радіус кола r, описаного навколо основи призми?

                   Проведемо переріз півплощиною, що проходить через центр кулі і бічне ребро призми АА₁  (Півплощина обмежена прямою, що проходить через центр кулі паралельно до бічного ребра призми).

-   Центр кулі лежить на середині висоти призми, що з’єднує центри

кіл, описаних навколо основ.

ОО₁ = ОО₂ = 1/2О₁О₂= Н/2,  Трикутник ОО₁А ( кут О = 90градусів).

R² = (H/2)² +r²

     Навколо якої призми можна описати кулю?

Властивості

Навколо призми можна описати кулю тоді і тільки тоді, коли:

-     В основах лежатимуть многокутники, навколо яких можна описати коло.

-     Дана призма буде прямою.

-     Центр кулі лежить на середині висоти призми.
Подумайте і скажіть:

-          Чи навколо будь-якої призми можна описати кулю? Чому?

-          Чи завжди можна описати кулю навколо куба?

-          Чи можна завжди описати кулю навколо будь-якої правильної призми?
Чому?

-    Навколо якої прямої чотирикутної призми можна описати кулю?
А тепер сформулюємо основні наслідки:

Кулю можна описати:

-          навколо куба;

-          навколо будь-якої прямої трикутної призми;

-          навколо будь-якої правильної призми;

-    навколо прямої чотирикутної призми, основою якої є чотирикутник, сума
протилежних кутів якого дорівнює 180°.

2. Куля вписана в призму (призма, описана навколо кулі).

Для зображення кулі, вписаної в призму, необхідно вказати центр кулі та її радіус.

Куля називається вписаною в призму (призма називається описаною навколо кулі), якщо вона своєю поверхнею дотикається до граней цієї призми. О - центр кулі, вписаної в призму, ОN — радіус кулі.

-В яку призму можна вписати кулю?

-Чим повинні бути основи призми?

-Чому повинна дорівнювати її висота?

-    Де розміщений центр кулі?

         Проведемо переріз півплощиною, яка перпендикулярна до бічної грані призми, що проходить через висоту призми, що з’днує центри кіл, вписаних в основи.

R - радіус вписаної кулі, г - радіус кола, вписаного в основу, Н - висота призми.

R =r=H/2, H = 2R = 2r.

Отже,

Властивості

Властивості

•  Кулю можна вписати в призму тоді і тільки тоді, коли її перпендикуляри
перерізом є многокутник, в який може бути вписане коло. Діаметр вписаного кс
повинен дорівнювати висоті призми.

•  Центр кулі є серединою висоти призми, що з’єднує центри кіл, вписаних в оснснову призми.

Наслідки:

Кулю можна вписати:

•    В таку правильну призму, в якої діаметр кола вписаного в її основу, дорівнює бічному  ребру призми.

•    В пряму призму, якщо в її основі лежить многокутник, в який може бути вписане коло,  причому діаметр цього кола повинен дорівнювати бічному ребру призми.

IV. Розв'язування задач.

1.  Знайти площу сфери, вписаної в куб, ребро якого 10 см.

2.           Площа бічної поверхні призми 27 см . Знайти площу бічної поверхні  писаного в циліндра.

V. Підсумок уроку.

VI. Домашнє завдання, п. 54, 63, § 6 № 8.

1.  Намалювати описану навколо кулі і навколо циліндра чотирикутну і трикутну призму.

2.         Вписати в циліндр і кулю чотирикутну призму, трикутну призму, в основі якої лежить правильний трикутник, прямокутний трикутник.