Комбінації геометричних тіл

               

Тема: Вписана і описана призма

Мета: Ознайомити учнів з поняттям вписаної і описаної призми, формувати вміння аналізувати, робити висновки, розвивати просторову уяву і логічне мислення.

Хід уроку

I. Актуалізація опорних знань учнів.

-          Який многокутник називається вписаним в коло?

-          Чи будь-який многокутник можна вписати в коло?

-          А трикутник?

-          Де лежить центр описаного кола навколо гострокутного?, тупокутнього,
прямокутного трикутника?

-          Чи будь-який чотирикутник можна вписати в коло?

-          Які   ви   знаєте   властивості   чотирикутника   вписаного   в   коло?   (сума
протилежних кутів дорівнює 180°).

-          Який многокутник називається описаним навколо кола?

-          Чи в будь-який многокутник можна вписати коло?

-          Яку   властивість   має   чотирикутник,   описаний   навколо   кола?   (Суми
протилежних сторін рівні).

II.  Мотивація навчання.

До тепер ми розглядали властивості простіших геометричних тіл: призм, пірамід, циліндрів, конусів, куль. Але досить часто доводиться мати справу із складнішими тілами, які є різними комбінаціями (об'єднаннями) названих тіл. З різноманітної комбінації геометричних фігур особливої уваги заслуговують вписані і описані тіла.

На сьогоднішньому і наступних уроках ми з ‘ясуємо деякі з цих понять. Повідомлення теми і мети уроку.

 III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

Комбінації призми і круглих тіл

Зображення     будуються     відповідно     до     властивостей     паралельного проектування. Побудову починають із зображення круглого тіла.

а)Комбінація  призми  та   циліндра

1.  Призма,  вписана  в  циліндр  (циліндр,  описаний навколо призми).

Призма називається вписаною в циліндр, якщо її основи - многокутники, вписані в кола основ циліндра, а бічні ребра збігаються з твірними циліндра.

-Чи в будь-яку призму можна вписати в циліндр?

-То яку призму можна вписати в циліндр?

-Що в даному випадку буде радіусом циліндра?

-З чим співпадає висота призми?

-Чи в будь-яку правильну призму можна вписати в циліндр?

А тепер сформулюємо і запам'ятаємо властивості призми, вписаної в циліндр.

Властивості

-         Призму можна вписати в циліндр, якщо вона пряма і навколо її основи можна описати коло.

-         Радіус циліндра дорівнює радіусу цього кола.

-         Вісь циліндра співпадає з висотою Н призми, що з’єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.

-         У циліндр можна вписати будь-яку правильну призму.

2. Призма, описана навколо циліндра (циліндр, вписаний в призму).

Призма називається описаною навколо циліндра, якщо її основи многокутники, описані навколо основ циліндра, а бічні грані дотикаються до бічної поверхні циліндра. АВСД, А₁В₁С₁Д₁  - многокутники, описані навколо основ циліндра, кругів (О, r) і (О, r). NN₁, MM_1, PP₁… лінії дотику бічної поверхні циліндра і бічної поверхні призми.

-         Що ви можете сказати про висоту призми? Що вона з’єднує? З чим співпадає?

-         Що ви можете сказати про призму, якщо її можна описати навколо циліндра?

-         Чи будь-яку правильну призму можна описати навколо циліндра? Чому?

Отже,

Властивості

·                   Вісь циліндра співпадає з висотою призми, що з’єднує центри кіл вписаних в основи призми.

·                   Призму можна описати навколо циліндра, якщо призма пряма і в її основу можна вписати коло.

·                   Радіус циліндра r дорівнює радіусу цього кола.

·                   Навколо циліндра можна описати будь-яку правильну призму.

б) Комбінації призми та кулі.

1. Куля, описана навколо призми ( призма вписана в кулю).

Куля називається описаною навколо призми (призма називається вписаною в кулю), якщо всі вершини призми лежать на поверхні цієї кулі.

  О -     центр кулі паралельно до бічного ребра призми

АВСД А₁В₁С₁Д₁ , ОА – радіус кулі.

            -  Де лежить центр кулі, описаної навколо призми?

            - Як зв’язані між собою радіус кулі R, висота призми Н і радіус кола r, описаного навколо основи призми?

                   Проведемо переріз півплощиною, що проходить через центр кулі і бічне ребро призми АА₁  (Півплощина обмежена прямою, що проходить через центр кулі паралельно до бічного ребра призми).

-   Центр кулі лежить на середині висоти призми, що з’єднує центри

кіл, описаних навколо основ.

ОО₁ = ОО₂ = 1/2О₁О₂= Н/2,  Трикутник ОО₁А ( кут О = 90градусів).

R² = (H/2)² +r²

     Навколо якої призми можна описати кулю?

Властивості

Навколо призми можна описати кулю тоді і тільки тоді, коли:

-     В основах лежатимуть многокутники, навколо яких можна описати коло.

-     Дана призма буде прямою.

-     Центр кулі лежить на середині висоти призми.
Подумайте і скажіть:

-          Чи навколо будь-якої призми можна описати кулю? Чому?

-          Чи завжди можна описати кулю навколо куба?

-          Чи можна завжди описати кулю навколо будь-якої правильної призми?
Чому?

-    Навколо якої прямої чотирикутної призми можна описати кулю?
А тепер сформулюємо основні наслідки:

Кулю можна описати:

-          навколо куба;

-          навколо будь-якої прямої трикутної призми;

-          навколо будь-якої правильної призми;

-    навколо прямої чотирикутної призми, основою якої є чотирикутник, сума
протилежних кутів якого дорівнює 180°.

2. Куля вписана в призму (призма, описана навколо кулі).

Для зображення кулі, вписаної в призму, необхідно вказати центр кулі та її радіус.

Куля називається вписаною в призму (призма називається описаною навколо кулі), якщо вона своєю поверхнею дотикається до граней цієї призми. О - центр кулі, вписаної в призму, ОN — радіус кулі.

-В яку призму можна вписати кулю?

-Чим повинні бути основи призми?

-Чому повинна дорівнювати її висота?

-    Де розміщений центр кулі?

         Проведемо переріз півплощиною, яка перпендикулярна до бічної грані призми, що проходить через висоту призми, що з’днує центри кіл, вписаних в основи.

R - радіус вписаної кулі, г - радіус кола, вписаного в основу, Н - висота призми.

R =r=H/2, H = 2R = 2r.

Отже,

Властивості

Властивості

•  Кулю можна вписати в призму тоді і тільки тоді, коли її перпендикуляри
перерізом є многокутник, в який може бути вписане коло. Діаметр вписаного кс
повинен дорівнювати висоті призми.

•  Центр кулі є серединою висоти призми, що з’єднує центри кіл, вписаних в оснснову призми.

Наслідки:

Кулю можна вписати:

•    В таку правильну призму, в якої діаметр кола вписаного в її основу, дорівнює бічному  ребру призми.

•    В пряму призму, якщо в її основі лежить многокутник, в який може бути вписане коло,  причому діаметр цього кола повинен дорівнювати бічному ребру призми.

IV. Розв'язування задач.

1.  Знайти площу сфери, вписаної в куб, ребро якого 10 см.

2.           Площа бічної поверхні призми 27 см . Знайти площу бічної поверхні  писаного в циліндра.

V. Підсумок уроку.

VI. Домашнє завдання, п. 54, 63, § 6 № 8.

1.  Намалювати описану навколо кулі і навколо циліндра чотирикутну і трикутну призму.

2.         Вписати в циліндр і кулю чотирикутну призму, трикутну призму, в основі якої лежить правильний трикутник, прямокутний трикутник.

Урок № 2

Тема: Вписана і описана піраміда.

Мета: Ознайомити учнів з поняттям вписаної і описаної піраміди; розвивати

логічне мислення учнів, вчити послідовно та чітко висловлювати свої

думки та впевнено їх захищати.

Хід уроку

I.                   Перевірка  домашнього завдання.
Усні вправи.

-          У кулю радіуса К вписано куб. Визначити ребро куба.

-          Знайти об’єм циліндра, вписаного в куб, ребро якого а.

-          Знайти   об’єм   кулі,   вписаної   в   правильну   трикутну
призму, висота якої Н.

II.Вивчення нового матеріалу.

а)Комбінація  піраміди та  конуса.

1. Піраміда, вписана в конус (конус, описаний навколо

піраміди).

Піраміда називається вписаною в конус, якщо її основа -многокутник, вписаний в основу конуса, вершина співпадає з вершиною конуса, а бічні ребра збігаються з твірними конуса.

8А, 8В, 8С, 8В - бічні ребра піраміди і одночасно твірні конуса. -  Чи будь-яку піраміду можна вписати в конус?

o   На що при цьому слід звернути увагу?

o   Чи правильне твердження: "У конус можна вписати будь-яку піраміду,якщо навколо її основи можна описати коло".

o   Чи можна описати конус навколо пірамід виду:

-         Який висновок можна зробити про вершину піраміди?

-         Чи будь-яку правильну піраміду можна вписати в конус.
Отже,

Властивості

•    Піраміду можна вписати у конус, якщо її вершина проектується в центр
описаного навколо основи кола.

•    Будь-яку правильну піраміду можна вписати в конус.

•    Висоти конуса і піраміди співпадають.

•    Радіус конуса дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи.

2. Піраміда, описана навколо конуса (конус, вписаний в піраміду).

Піраміда називається описаною навколо конуса, якщо її основа - многокутник, описаний навколо основи конуса, вершини збігаються, а бічні грані піраміди дотикаються до бічної поверхні конуса. SК, SМ,... - лінії дотику бічних граней піраміди до бічної поверхні конуса.

-         Отже,   чи   завжди   можна  описати  правильну піраміду навколо конуса?

-         Які ще піраміди можна описати навколо конуса?

-         Що  ви  можете  сказати  про  висоти  конуса  і піраміди?

                 Властивості

·        Піраміду можна описати навколо конуса, якщо її вершина  проектується  в  центр  кола  вписаного  в основу.

·        Навколо конуса завжди можна описати правильну піраміду.

·        Висоти конуса і піраміди співпадають.

·        Радіус конуса r дорівнює радіусу кола, вписаного в основу.

б)Комбінації   піраміди  і кулі

1. Куля описана навколо піраміди (піраміда вписана в

кулю).

Куля називається описаною навколо піраміди (піраміда називається вписаною в кулю), якщо всі її вершини лежать на поверхні цієї кулі. SО₁ - висота піраміди, SО₁= Н, ОА -радіус кола, описаного навколо основи, ОА = r.

ОА - радіус кулі, ОА = К, SА- бічне ребро. SА = SВ = SС = SD = l. Проведемо переріз, що проходить через центр кулі і бічне ребро піраміди (Півплощина обмежена прямою, що проходить через висоту піраміди).

3’ясуємо, як пов’язані між собою R, Н і r.

AO=OS=R, то ОО₁=SO₁ –SO = H – R

Трикутник ОО₁А (кут О₁ = 90 градусів):

 R² = (H – R)² +r²

SM = 2R           AS=1          SO = H

AS² = SM SO, l^{2 =} 2RH

R =l²/2H

Зв’язок між бічним ребром, висотою піраміди і радіусом описаної кулі.    SО₁=Н,    О₁М=2R-Н

r² = 4 (2 R - Н)        -    зв’язок між радіусом описаного навколо основи піраміди, її висотою і радіусом описаної кулі.

-       Навколо якої піраміди можна описати кулю?

-       Де, на вашу думку, може бути розміщений центр описаної кулі навколо
піраміди?

-       Якою порівняно з радіусом кулі К може бути висота Н піраміди.

       

                     H>R                              H=R=r                                                          H<R

Отже,

•    Кулю можна описати навколо піраміди тоді і тільки тоді, коли в її основі
лежить многокутник, навколо якого може бути описане коло.

•    Центр кулі, описаної навколо піраміди, лежить на прямій, що містить висоту
піраміди і співпадає з центром кола, описаного навколо рівнобедреного
трикутника, бічною стороною якого є бічне ребро піраміди, а висотою -
висота піраміди.

• Центр кулі може знаходитись:

- всередині піраміди, якщо Н>R;

-на площині основи, якщо Н =r= R;

- зовні піраміди. Якщо H<R.

R = l²/2H                      R₁² = H(2R – H)

Наслідки:

Кулю можна описати:

•    навколо будь-якої трикутної піраміди;

•    навколо чотирикутної піраміди в основі, якої лежить чотирикутник, сума протилежних кутів якого дорівнює 180° ;

•    навколо будь-якої правильної піраміди;

•    навколо такої піраміди, в основі якої лежить многокутник, навколо якого можна описати коло.

2. Куля вписана в піраміду (піраміда описана навколо кулі).

Куля називаєтьсКуля називається вписаною в піраміду (піраміда називається  називається описаною навколо кулі), якщо вона своєю поверхнею дотикається до всіх граней цієї піраміди. SО₁ - висота піраміди, кут $КО₁ - лінійний кут двогранного кута при ребрі DС основи піраміди. КО - бісектриса кута SКО₁, O - центр кулі, вписаної в піраміду SАВСD, О₁К - радіус кола вписаного в основу, О₁ Н - радіус кулі.

-Де розміщений центр кулі вписаної в піраміду?
-З чим він співпадає?

-Що  є  бічною  стороною  даного рівнобедреного
трикутника, а що висотою?

-          Чому, на вашу думку, дорівнює радіус кулі?

-          А в піраміду можна вписати кулю?

—  Куди проектується вершина піраміди?

Проведемо переріз півплощиною, що проходить через центр кулі і апофему піраміди. (Півлощина, обмежена прямою, що проходить через висоту піраміди).

Властивості

                         • Центр, вписаної в піраміду кулі, належить висоті

піраміди і співпадає з центром кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, бічною стороною якого є апофема піраміди, а висотою - висота піраміди.

•     Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.
Кулю можна вписати:

•     в будь-яку трикутну піраміду;

•     в будь-яку піраміду, в якої вершина проектується
на площину основи в точку, що є центром кола,

вписаного в основу;

•в будь-яку правильну піраміду.

III. Розв'язування задач.

1.           У конус вписано правильну чотирикутну піраміду, висота якої 10 см, а сторона основи 6 коренів із2 см. Визначити твірну конуса.

2.     Навколо правильної трикутної  піраміди описано кулю радіуса 5 см.
Визначити висоту піраміди, якщо ребро її основи 3 корені з  3 см.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання,   п. 57,  63,   § 6,  № 49,  № 25. Намалювати в папку з файлами: вписану в кулю і конус правильну чотирикутну і трикутну піраміду і
вписані в чотирикутну і трикутну піраміди кулю і конус.

Урок № З

Тема: Комбінації многогранників та круглих тіл. Розв'язування задач.

Мета: Узагальнити і систематизувати теоретичні знання учнів з теми; закріпити вміння та навички використання теоретичних знань до розв'язування задач, розвивати творчий підхід та інтерес до навчання.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання.

Учні біля дошки відтворюють задачі, які виконували вдома. В цей час проводиться фронтальне опитування.

-                        Які комбінації тіл ми з вами вже вивчали?

-                        Дати означення призми вписаної в циліндр.

-                        Які призми можна вписати в циліндр?

-                        Яка призма називається описаною навколо циліндра?

-                        Сформулювати властивості призм, описаних навколо циліндра.

-          Дати означення кулі описаної навколо призми.

-                        Навколо яких призм можна описати кулю?

-                        Де лежить центр кулі описаної навколо призми?

-                        Яка куля називається вписаною в призму?

-                        Де лежить центр кулі вписаної в призму?

-                        Чому дорівнює радіус даної кулі?

-                        В які призми можна вписати кулю?

-                        Дати означення піраміди вписаної в конус?

-                        Які піраміди можна вписати в конус?

-                        Чи будь-яку правильну піраміду можна вписати в конус?

-                        А яка піраміда називається описаною навколо конуса?

-                        Які ж піраміди можна описати навколо конуса?

-                        Дати означення кулі описаної навколо піраміди.

-                        Навколо якої піраміди можна описати кулю?

-                        Чи залежить висота піраміди від радіуса описаної кулі?

-                        Де лежить центр кулі?

-                        Сформулювати означення кулі, вписаної в піраміду.

-                        Де лежить центр кулі?

-          Чому дорівнює її радіус?

-          В які піраміди можна вписати кулю?

II.  Актуалізація опорних знань учнів.

-                        Яку властивість має чотирикутник вписаний в коло?

-                        А описаний?

-                        Які ви знаєте формули для обчислення радіуса кола, описаного
навколо трикутника?

-                        Вписного в трикутник?

-       Сформюлюйте означення кута між прямою і площиною, двогранного

кута.

III. Розв'язування задач. Усно:

1.  Чи можна вписати конус  в чотирикутну піраміду,  сторони основи якої
пропорційні до чисел 1; 2; 3; 4.

2.          Навколо циліндра описано куб, ребро якого а. Знайти висоту і площу основи
циліндра.

3.          У кулю вписано куб, ребро якого 2 дм. На якій відстані від центра кулі
знаходиться кожна грань куба.

4.          Чи можна вписати чотирикутну піраміду в конус, якщо кути многокутника
основи пропорційні до чисел 2; 3; 4 і 3?

Розв'язування задач за готовими малюнками:

5.  (№ 622 (а)). (Потрібна добудова виконується зверху по файлі).

Основою прямої призми є прямокутник з стороною а і кутом а, який утворює ця сторона з діагоналлю трикутника. Діагональ призми утворює з площиною основи кут р. Визначити об"єм циліндра описаного навколо даної призми.

1.  Проведемо  діагоналі    АС₁    призми.   Згідно    умови
задачі АД = а   і кут СLF = а .

2.           Назвати  кут  між  діагоналлю  призми  і  площиною
основи. Чому?   Кут С₁ АС = ß .

3.           За якою формулою обчислюється об"єм циліндра?

4.          Що нам необхідно для цього знайти і як?

5.          Як    визначити    радіус    кола    описаного   навколо прямокутника?

Трикутник АДС (кутD = 90 градусів, кут А = а)

АС = АД  cos кута А = а cos a

R = ½ AC = ½ a cos a

Трикутник С₁СА (кут С = 90 градусів, кут А = ß)

СС₁ = АС tg кута А = а cos  a tg ß

V = πR²H,

V = π (1/2a² cos a)² a cos a tg ß = ¼ πa³ cos³ a tg ß

6. (626 a).  У    вказаній    чотирикутній    піраміді

двогранний    кут    при    основі    дорівнює    а.

Визначити   площу   бічної   поверхні   піраміди,

якщо радіус вписаної в неї кулі r.

1. Вказати  двогранний  кут  при  основі  піраміди.

Чому? (кут SNO₁= а)

2.Назвати радіус кулі. (OO₁).

3.   Чим є центр кола, вписаного в трикутник? Тому кут О₁NO = куту KNO = a/2

4. А що являє собою відрізок О₁N?

5.    Як визначити сторону квадрата, знаючи радіус вписаного кола?

З трикутника ОО₁N ( кут О₁  = 90 градусів, кут  N = a/2)

O₁N = OO₁ ctg  кута N = arctg a/2

AD = 2O₁ N = 2 arctg a/2

6.    За якою формулою можна визначити бічну поверхню піраміди, коли відомо лінійний кут двогранного кута при основі піраміди?

S _б.п. =  S осн./ cos a

Отже, S осн. = АД²

S _осн.  = (2 arctg a/2) = 4 r² ctg² a/2.

S _б.п. = (4r² ctg² a/2)/ cos a

7.   (616(б)). Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус
кулі, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут  γ.

Визначити об'єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює в.  ( πb³/6 cos ³ γ).

8.     (6186). У правильну трикутну призму вписано циліндр, а в циліндр -
правильну трикутну призму. Знайти відношення об'ємів призм.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання.

№ 630 (б). У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначити площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює Н.

627 (а). У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює в і нахилене до площини основи під кутом а. Знайти площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди.

Урок № 4

Тема: Тіла обертання. Комбінації круглих тіл.

Мета: Ознайомити учнів з поняттям тіла обертання, а також комбінаціями круглих тіл. Розвивати просторову уяву і логічне мислення. Формувати вміння послідовно та чітко висловлювати свої думки, виховувати культуру усного мовлення.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання.

Короткочасна самостійна робота, аналогічна домашньому завданню.

       

S₁ і S₂ - відповідно бічні поверхні конуса і піраміди.

V₁   - об"єм кулі,   V₂ — об"єм піраміди.

№ п/п.	Дано	а	L	R	k	V1	V 2
1.	R і а
2.	K і ß
3.	а і а
4.	H і ß

№ п/п.	Дано	а	Н	R	SpАВС	S 1	S2
1.	R  і а
2.	Н і а
3.	l i а
4.	Н i ß

ІІ. Вивчення нового матеріалу.

У курсі математики загальноосвітньої школи розглядають об’єми та поверхні тіл, що утворюються внаслідок обертання навколо осі плоских прямолінійних фігур, які лежать в одній площині з віссю і не перетинають її.

Розглянемо, які тіла можуть утворитися в результаті обертання відрізка навколо осі.

Нехай відрізок АВ обертається навколо осі МN і лежить з нею в одній
площині.
1. АВ перпендикулярно М N  і  має  з  МN     

 спільну точку В. У результаті обертання відрізка навколо осі одержуємо круг з центром у точці В і радіусом, що дорівнює відрізку АВ.

2.АВ перпендикулярно М N  і не має спільної точки з  МN, причому ОВ = d. У результаті обертання утворюється плоске кільце, ширина якого дорівнює довжині даного відрізка.

3.АВ || МN   і АВ обертається на відстані d від осі МN. Утворюється поверхня циліндра, твірна якого дорівнює відрізку АВ, а радіус основи

дорівнює d.

4.   Відрізок АВ має з віссю спільну точку А і нахилений до неї під
кутом а.

-        Що опише відрізок АВ, обертаючись навколо МN?

-                     Чому дорівнює його твірна?

-                     А радіус основи?

5.   Відрізок АВ не має з віссю спільної точки і нахилений до неї під
кутом а.

-                     Що, на вашу думку, опише даний відрізок в результатi обертання?
(бічну поверхню зрізаного конуса).

-                     Чому дорівнює твірна?

-                     А радіуси основ? (r = d, R =d + АВ sіп a)

-     То які фігури може утворити відрізок АВ, обертаючись навколо осі,
що лежить з ним в одній площині?

Поверхня тіла обертання складається з поверхонь, утворених обертанням відрізків замкненого  контуру прямолінійної фігури,  і дорівнює їх

арифметичній сумі. Тіла обертання, які утворюються від обертання плоскої фігури навколо осі, є комбінацією вищезгаданих тіл обертання. Для розв'язування задач треба знати властивості елементарних круглих тіл і формули для обчислення їх поверхонь та об"ємів, вміти визначати форму тіла обертання, виконувати відповідний малюнок.

Задача    1.    Побудувати   тіло,   яке   утвориться   внаслідок   обертання

прямокутного    трикутника    навколо    одного    з    катетів;    навколо

гіпотенузи.

2. Комбінація  кулі  і  циліндра

а) Куля описана навколо циліндра

-         Згадайте навколо якої призми можна описати кулю.

Задача   1.   Чи   навколо   будь-якого   циліндра   можна

описати кулю?

Що є осьовим перерізом циліндра? Чи можна навколо прямокутника описати коло? Скільки?

-  Що     є     центром     кола,     описаного     навколо

прямокутника?

Знайдемо радіус R цієї кулі, якщо Н - висота циліндра, г = O₁D- радіус основи циліндра.

-  Чому дорівнюють в даному випадку АД і ВС? АВ і СD?

(АД = ВС=2r; АВ = СD = H).

-         Чому рівна діагональ прямокутника? (ВД = 2 R). Встановимо зв"язок між R,
r, Н.

-         Який трикутник зв"язує радіуси R i r i H?

p BAD (кут A =90 градусів)

ВД² = АВ² + АД²

(2R)² = H² + ( 2r)²

4R² = H² + 4 r²

R =(H² +4r²)/4 = H²/4 + 4r²/4 = H²/4 + r² = (H/2)²  + r²

R = корінь квадратний з (Н/2)² + r²

Отже,

Куля називається описаною навколо циліндра (циліндр називається вписаним в кулю), якщо кола основ циліндра лежать на поверхні цієї кулі.

Властивості

•  Кулю можна описати навколо будь-якого кругового циліндра.

•      Центр кулі, описаної навколо циліндра, лежить на середині висоти, що з'єднує центри основ циліндра і є його віссю.

•      Радіус кулі R, радіус циліндра г і висота циліндра Н пов'язані співвідношенням R² = (H/2)² + r²

б) Куля, вписана в циліндр (циліндр, описаний навколо кулі).

Куля   називається   вписаною   в   циліндр   (циліндр   називається описаним навколо кулі), якщо вона своєю поверхнею дотикається до всіх твірних та основ циліндра.

А зараз розв'яжемо задачу.

Задача 1. Чи в будь-який циліндр можна вписати кулю?

-Якщо висота циліндра більша від діаметра кулі, то кулю не можливо вписати в циліндр.

-Якщо висота циліндра менша, ніж діаметр кулі, то кулю неможливо вписати в циліндр.

-У циліндр можна вписати кулю, тоді і тільки тоді, коли висота циліндра дорівнює діаметру кулі.

-Що є осьовим перерізом циліндра?

-Чи можна в прямокутник вписати коло?

-То чим повинен бути осьовий переріз циліндра, щоб в нього можна вписати коло?

Властивості

•     Кулю можна вписати в прямий круговий циліндр, якщо його висота
дорівнює діаметру основи циліндра, тобто Н = 2R.

•     Радіус кулі дорівнює радіусу циліндра.

r=1/2 H

2. Комбінація конуса  і кулі

а) Куля описана навколо конуса (конус вписаний в кулю).

Куля називається описаною навколо конуса (конус

називається вписаним в кулю), якщо вершина і

коло основи конуса лежать на поверхні кулі.

Визначити чим є

pSАВ — осьовим перерізом конуса

SO₁ — висотою конуса SО ₁= Н

О₁ А - радіус основи конуса, О₁ А =r.

ОА - радіус кулі, ОА=R

SА - твірна конуса, SА = l.

Переріз   площиною,   що   проходить  через   вісь

конуса (осьовий переріз).

-Що є осьовим перерізом конуса?

-Де лежить центр кулі?

-       Що він являє собою дана точка?

    Де може знаходитися центр кулі описаної навколо конуса?

-       Чи  навколо  будь-якого  конуса  можна  описати кулю? Чому?

             

                                                           H>r                H=R=r                          H<R

Властивості

•     Навколо будь-якого конуса можна описати кулю.

•     Центр кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, описаного навколо
трикутника, який є осьовим перерізом конуса.

•     Центр кулі може знаходитися

-          всередині конуса, якщо Н>r;

-          у центрі основи конуса, якщо H = r = R;

-          поза конусом, якщо Н<r;

-          R = l²/2H  (довести)

б) Куля, вписана в конус (конус, описаний навколо кулі).

               Куля називається вписаною в конус (конус називається

описаним навколо кулі), якщо поверхня кулі дотикається до бічної поверхні і основи конуса.

Проведемо переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз) Назвати в даному випадку чим є:

pASB — осьовим перерізом.

SО₁ - висота конуса, SO₁ = Н.

О₁ А — радіус основи конуса,

О₁ А= r. (OK -радіус кулі, ОК =R.

-Де лежить центр вписаної кулі?

-          Чим є центр кола, вписаного в трикутник?

-          Чи в будь-який конус можна вписати кулю?
Чому?

Властивості

•     Кулю можна вписати в будь-який конус.

•     Центр кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром   кола,   вписаного   в   трикутник,   що   є осьовим перерізом конуса.

•     Радіус кулі R, радіус конуса г і висота конуса Н пов"язані співвідношенням.

R/(H-R) = r/ корінь із(H² +r²)

(довести самостійно).

III.   Підсумок уроку.

IV.  Домашнє завдання.

-         Довести вказані властивості.

-      Побудувати у папку кулю вписану в циліндр, конус і кулю описану навколо
циліндра, конуса.

Урок № 5

Тема: Комбінації тіл. Розв'язування задач.

Мета: Повторити навчальний матеріал з теми, розвивати навички використання теоретичного знань до розв'язування задач; просторову уяву, пізнавальну активність учнів, культуру спілкування.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання. Усні вправи.

1.  Квадрат обертається навколо сторони, довжина якої 4 см. Обчислити площу
поверхні тіла обертання.

  

2.         У кулю вписано рівносторонній циліндр. У скільки разів площа її великого
круга більша за площу основи циліндра.

3.         У  циліндр  вписана трикутна призма.  Який відрізок є її висотою.

4.         У конус вписана трикутна піраміда. Чи можна стверджувати, що pАВС — тупокутний.

5.         Намалюйте від руки тіла, які утворяться в результаті  обертання  навколо  прямої а фігур, поданих на малюнку і охарактеризуйте їх.

6.

6.          У циліндр вписана куля радіуса R.  Знайти відношення об'ємів цих тіл.

7.    Чи правильно, що коли навколо сфери описати циліндр, то його бічна поверхня дорівнюватиме площі сфери.

8. Обертаючи прямокутник АВСД спочатку навколо

сторони   АВ,   а   потім   навколо   сторони   АД дістанемо два різних циліндри. У якому випадку бічна поверхня буде більша?

  9. Чи в будь-яку кулю можна вписати конус?

10.Чи    навколо    будь-якої   кулі    можна   описати циліндр? (Так, якщо Н = 2R,  Н - висота циліндра, R - радіус кулі).

11. Чи навколо будь-якої кулі можна описати конус? (Так, але не один, якщо

висота конуса зростає, то радіус основи конуса зменшується, і, навпаки, якщо радіус основи зростає, то висота конуса зменшується ).

12.Чи в будь-яку кулю можна вписати циліндр? (У будь-яку кулю можна

вписати циліндр, але не єдиний. Висота циліндра повинна бути меншою за

діаметр кулі).

II. Актуалізація опорних знань.

-         Властивість висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи?

-         Властивість катетів.

-         Який кут називається вписаним в коло? А який центральний?

-         Чому дорівнює величина вписаного кута?

-         Наслідок теореми синусів.

III.  Розв'язування задач.
№ 14. § 8.

а

Дано: pАВС

Кут С = 90°

АС = а

ВС = в

Знайти: V _т.oб.

1 . З чого складається утворене тіло обертання?

2. Чому дорівнює радіус конуса?

3.          Чим є ОС в А АВС?

4.          Як знайти об"є тіла обертання?

Запишемо.

   V_{1 =} 1/3 π OC²  AO;   V₂ = 1/3  π OC²  BO

V₁ =V₁ +V₂

V = 1/3  π OC² (AO+OB) = 1/3 π OC²  AB

5. Як визначити гіпотенузу pАВС ?

6.Яку властивість катета прямокутного трикутника, ви знаєте?

a² = a_c  (1)       b² = b_c  c

7.     А висоти?   h² = a_c b _c

8.     То як тепер можна знайти висоту?

a_c  = a²  c                    в_с =b² / c

h² = (a²/c)  (b²/c) = (a²  b²) / c²

h = ab/c      c =  корінь із a² +b²

V = 1/3 π (ab/c)²  c = 1/3 π   ((a² b²) / c) = 1/3 π  ((a² b²) / (a² +b²))

Інколи при розв'язуванні задач на комбінації зручно користуватися осьовим перерізом. В цьому ви переконаєтесь при розв'язуванні такої задачі.

№ 1 (632).

Кут між твірною конуса і його висотою дорівнює р. Відстань від центра описаної навколо конуса кулі до основи його висоти дорівнює /. Визначити площу бічної поверхні конуса.

Відкрийте у папці той малюнок, де куля описана навколо конуса. Назвати твірні конуса, його висоту.

-  Чим є осьовий переріз конуса?

-Назвати  радіус  кулі,  радіус  конуса,  кут  між
твірною і висотою, кута АSО = ß.

- Як визначити бічну поверхню конуса?

-Назвати  відстань  від  центра  кулі  до  основи
висоти, ОО ₁= l.

-Як будемо визначати радіус конуса, твірну?

-Як називається кут АSВ? А кут АО₁ В?

- Як    визначити    центральний    кут,    знаючи величину вписаного, що спирається на дугу АВ?

 Отже,  кут АО₁В = 2    кут АSВ

Чому рівна величина кута ASB?

Кут ASB = 2 Кутa  ASO = 2ß       Кут AO₁B = 2*2ß = 4ß

pAOO₁   (Кут O = 90 ◦, Кут O ₁ = 2ß )

AO = OO₁  tg Кутa 2 O₁

AO = l  tg 2 ß

p ASO (Кут O = 90 ◦, Кут S = ß )

AS = AO / sin O = l tg 2ß/sin ß

S = πRl

S = πltg 2ß  (ltg2ß/sin ß)  = (πl²tg² 2 ß) /sin ß

 3. (623b).

Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ грані, що проходить через основу трикутника, дорівнює l і нахилена до основи під кутом ß. Визначити бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.

    Відкрийте у папках той листок, де у циліндр вписана трикутна призма.

-    Зобразіть зверху на файлі фламастером кути при

основі рівнобедреного трикутника ( А = B = а ). -  Провести діагональ грані АВВ₁ А₁ (АВ₁ = l)

 -  Визначити кут між діагоналлю АВ1 і площиною основи? Чому? (В1АВ = ß).

-          Чому рівна висота циліндра? А його радіус?

-          Як визначити бічну поверхню циліндра?

-          Що для цього необхідно знайти?

-  Чи  можна  визначити  радіус  описаного  кола,  коли  відома сторона  і протилежний кут.

Коментоване розв ‘язування задачі.

З  p   АВ₁B (В = 90°),  Н = ВВ₁ = l sіп ß

 З  p АВС   АВ = l cos ß

AB/sin C = 2R  (наслідок теореми синусів.)

R = (l cos ß) / 2 sin (180◦ - 2a) =( l cos ß)/ (2 sin 2a)

S = 2 π  ((l cos ß ) /(2 sin 2 a)) l sin ß = (π l² sin 2ß) / 2 sin 2 a

ІУ.Підсумок уроку.

V.     Домашнє завдання.  № 13 (§ 8), № 620(а).

Урок № 6

Тема: Комбінації тіл. Контрольна робота.

Мета: Проконтролювати рівень засвоєння учнями теми; виявити прогалини в їхніх знаннях; розвивати самостійність.

Хід уроку

I. Організація колективу.

II. Виконання роботи

(Індивідуальні завдання в двох варіантах).

І варіант

1.           У куб, ребро якого 12 см, вписано кулю. Знайти об’єм кулі.

2.           Прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим кутом а обертається навколо заданого катета. Визначити площу бічної поверхні утвореного тіла обертання.

3.           Основою піраміди є ромб висотою h. Бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом а. Визначити об’єм конуса, вписаного в дану піраміду.

4.           Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює l і утворює з площиною основи кут а. Визначити об’єм циліндра, описаного навколо даної призми.

II варіант

1.  Визначити об’єм кулі, описаного навколо куба з ребром а.

2.           Прямокутник зі стороною а і діагоналлю d обертається навколо  невідомої сторони. Визначити об’єм тіла обертання.

3.           Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює b √3 см, а бічні  ребра нахилені до площини основи під кутом а. Визначити об’єм конуса,  описаного навколо піраміди.

4.     Навколо циліндра описана правильна трикутна призма. Діагональ бічної грані
дорівнює d і утворює з площиною основи кут а. Визначити площу бічної
поверхні циліндра.

           

Література

1.Г.В.Апостолова. Геометрія 11 клас. Київ. «Генеза» 2011р.

2.Г.П.Бевз, В.П.Бевз. Математика 11 клас. 2011р.

3.А.М.Чекова. Геометрія в таблицях 7-11класи. Навчальний

посібник. Харків.2013р.

4.Л.С.Сухарева. Геометрія. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести. Харків.2008р.

5.Використана робота автора Кириченко Л.М.